重新发明问题和定理

来自：他靠“想”就把收音机修好了！

我在高中做的另一件事就是发明问题和定理。就是说，无论我研究任何与数学相关的事情，我都会找出一些生活实例来说明它的用处。我创建了一些有关直角三角形的问题。通常，这类问题都是给出三角形两边的长度以求第三边的长度，但我给出的是三角形两个边的差值。一个典型的例题：竖直的旗杆上有一条从顶部垂下来的绳子，绳子垂下来时比旗杆长 3 英尺（约 90 厘米）；而当你把绳子往外拽直，绳子末端与旗杆底部的距离是 5 英尺（约 150 厘米）。那么旗杆有多高？

我研究出一些解决这类问题的数学方程式，结果发现了一些关联性，让我想起了三角函数，比如“sin2θ+cos2θ=1”。此前几年，大概就是我十一二岁的时候，我读过一本关于三角学的书，那本书我是从图书馆里借出来的，但早已不在手边了。我只记得三角函数研究的是正弦和余弦之间关系之类的东西。因此我开始通过画三角形来演算关联性，每一种联系我都自己动手去证明了。我还从已知的 5 度角的正弦值开始，通过我自己推导出的和角和半角公式计算出每隔 5 度的角的正弦值、余弦值和正切值。

几年后，我在学校学到三角函数，之前推导演算的笔记依然还可以派上用场，但我发现笔记中记录的证明过程往往和课本上的不一样。有时候是我没有注意到简单的方法，导致我的证明方法比较复杂；还有时候我的方法最棒，课本中的标准证明过程则又复杂又难懂。因此我和课本互有胜负。

做这些三角运算的时候，我不喜欢用那些数学符号，比如 sin（正弦）、cos（余弦）、tan（正切）之类。因为在我看来，“sinf”（f 的正弦值）就像是 s 乘以 i，再乘以 n，再乘以 f！所以我就自己设计了另外的符号，看起来有些像平方根“”，是一个伸出长长胳膊的西格玛（“∑”），然后我把 f 放在那条“胳膊”的下面。我发明的正切符号是一个顶部延伸出来的塔乌（“Τ”）；余弦符号则是伽马（“Γ”）的一种形式，看起来稍微有点像变形的平方根符号。

反正弦符号也用到了西格玛，但它是一个从左往右的镜像符号，因此反正弦的写法先是一条水平线及其下方的角度值，然后才是西格玛。明确一下，这里说的是反正弦符号，不是 sin-1f，看错的话就出大问题了！书里都是这样写的，但对我来说，sin-1 就是 1/sin，也就是正弦的倒数。所以说，还是我的三角函数符号要更好用。

我也不是很喜欢 f（x），因为这个符号让我觉得像“f 倍的 x”。我同样不喜欢 dy/dx，因为一看到它，我就有一种把 d 约掉的冲动。于是我发明了一个不同的符号，这个符号看起来有点像“&”。我还发明了新的对数符号——一个向右延伸的大写 L，而要取对数的对象就放在延长的一横上。

我一直认为自己创建的符号比教科书中的常规数学符号更好，至少不会比那些差，因为用哪种数学符号计算其实都一样，但后来我发现确实有区别。高中的时候，我有一次给同学讲解问题，我不假思索地用上了自己发明的数学符号，这位同学问：“这是什么玩意儿？”我这才意识到，如果要和其他人探讨，那我就必须使用标准数学符号。因此我最终放弃了自己的那套数学符号。

我还为打字机开发过一套符号，它和 FORTRAN 语言有点像，这样我就能用打字机打出方程式了。我还用曲别针和橡皮筋修理过打字机（那里的橡皮筋不像洛杉矶的那样容易断裂），但我并不是专业维修工，我只是想把坏了的打字机修到能用。但发现问题出在哪里，然后找出解决问题的方法，这整个过程对我来说就像解谜一样有趣。